SGCライブラリ 89

臨時別冊・数理科学2012年4月
「弦理論の代数的基礎」
～ 環・加群・圏から位相的弦理論，ミラー対称性へ ～

�橋篤史(大阪大学准教授)　著

＜内容詳細＞
環と加群の理論，及び圏論を基礎として，これから位相的弦理論やミラー対称性を学習・研究する際に不可欠になるであろうと思われる定義や定理をまとめた．ゲージ場の量子論，開弦・閉弦，D-brane といった物理的概念との対応も織り交ぜた解説がなされ，数学系，物理系双方の読者にとって得難い一冊となっている．
＜目次＞
第1章　環論の基礎
　　1.1　環
　　1.2　環上の加群
　　1.3　準同型加群
　　1.4　部分加群と商加群
　　1.5　核と余核，準同型定理
　　1.6　積と余積
　　1.7　テンソル積
　　1.8　完全列
　　1.9　射影的加群と入射的加群

第2章　圏と函手
　　2.1　圏
　　2.2　函手
　　2.3　米田の補題
　　2.4　表現可能函手と随伴函手
　　2.5　極限・余極限

第3章　環論における圏論的諸定理
　　3.1　線型圏
　　3.2　abel圏
　　3.3　加群の圏論的性質
　　3.4　generatorと加群の圏
　　3.5　森田同値
　　3.6　環の森田理論（Eilenberg-Wattsの定理）
　　3.7　Grothendieck abel圏
　　3.8　Gabriel-Popescuの定理
　　3.9　Freyd-Mitchellの埋め込み定理

第4章　dg加群
　　4.1　次数付き加群
　　4.2　dg k-加群
　　4.3　dg k-加群の圏C(k)U
　　4.4　dg k-加群のホモトピー圏H(k)U
　　4.5　dg k-加群の圏上の射影的モデル構造

第5章　位相的開弦の理論とdg圏
　　5.1　dg圏とdg函手
　　5.2　dg圏のテンソル積と準同型dg圏
　　5.3　dg圏の圏のモデル構造
　　5.4　dg圏上の加群
　　5.5　米田dg函手
　　5.6　dgA-加群の圏上のモデル構造
　　5.7　dg導来圏D_dg(A)と導来圏D(A)
　　5.8　テンソル函手と準同型函手

第6章　dg森田理論
　　6.1　hodgcat(k)Uにおける内部準同型
　　6.2　定理6.1.2の証明
　　6.3　dg森田理論の主定理（連続版）
　　6.4　compactなdg加群とperfectなdg加群
　　6.5　perfect dg導来圏per_dg(A)・三角dg圏
　　6.6　dg圏の非特異性と固有性
　　6.7　dg森田理論の主定理（perfect版）
　　6.8　Serre双対性
　　6.9　Calabi-Yau性

第7章　位相的閉弦の理論と原始形式
　　7.1　Frobenius構造
　　7.2　齋藤構造
　　7.3　原子形式によるFrobenius構造の構成

第8章　ミラー対称性へ
　　8.1　ホモロジー的ミラー対称性予想
　　8.2　Calabi-Yau dg圏からFrobenius構造へ

付録A　集合論からの準備
　　A.1　集合論の言語と論理式
　　A.2　ZFC公理系
　　A.3　ZFC集合論の性質
　　A.4　写像
　　A.5　二項関係・順序
　　A.6　普遍集合

付録B　三角圏
　　B.1　定義
　　B.2　完全圏・Frobenius圏・安定圏

付録C　圏の局所化とモデル構造
　　C.1　圏の局所化・導来函手
　　C.2　準備
　　C.3　モデル構造
　　C.4　Quillen随伴

参考文献

索引